** Répartition des vaccins du Covid-19

Aujourd'hui, six vaccins contre le Covid-19 sont disponibles en France :

• deux vaccins à ARNm dont la prescription est très largement majoritaire puisqu’elle représente plus de \(94\; \%\) de l’ensemble des vaccinations (formes bivalentes récentes comprises) ;
  
• deux vaccins vectorisés (\(5{,}7\; \%\) des prescriptions) ;
  
• deux vaccins recombinants nettement moins utilisés puisqu'ils ne représentent que \(0{,}3\; \%\) des vaccinations.

On considère que les Français ayant un schéma vaccinal complet ont été vaccinés avec un unique type de vaccins.

1. Sachant que \(80{,}6\; \%\) des Français sont complètement vaccinés, calculer le pourcentage de la population française qui a été complètement vaccinée avec des vaccins à ARNm.
2. On sélectionne au hasard trois personnes dans la population et on leur demande si elles ont été vaccinées avec un vaccin ARNm ou non. Le nombre de Français est suffisamment grand pour que cette sélection soit assimilée à un tirage avec remise.
    a. Justifier que cette expérience est une répétition de trois épreuves de Bernoulli.
    b. Dresser l'arbre de probabilités reflétant la situation.
3. On note \(X\) la variable aléatoire qui, à cette expérience, associe le nombre de personnes vaccinées avec des vaccins à ARNm.
    a. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
    b. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire \(X\).
    c. Déterminer les probabilités \(P(X=0)\), \(P(X=3)\) et \(P(X=1)\).
    d. En déduire la loi de probabilité de \(X\).
    e. Calculer l'espérance de la variable aléatoire \(X\).

Source des données : https://www.vidal.fr